Partiendo de las funciones trigonométricas de ángulos agudos en la escuela secundaria (cateto opuesto / hipotenusa), cuando enfrentamos ángulos mayores que $90^\circ$ o ángulos negativos, el triángulo rectángulo geométrico ya no es aplicable. En este momento,círculo unidadse convierte en la herramienta esencial para unificar todos los ángulos y definir las funciones trigonométricas.
1. Definición de funciones trigonométricas para ángulos arbitrarios
Sea $\alpha$ un ángulo arbitrario cuyo lado terminal intersecta al círculo unidad en el punto $P(x, y)$, entonces se define:
- seno (Sine): $\sin \alpha = y$
- coseno (Cosine): $\cos \alpha = x$
- tangente (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Si el punto $P(x, y)$ está sobre un círculo de radio $r$, entonces $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Relaciones básicas para un mismo ángulo
Se derivan directamente de la ecuación del círculo unidad $x^2 + y^2 = 1$:
1. Relación cuadrática: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Relación de cociente: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. Relación de cociente: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Además, en matemáticas avanzadas, las funciones trigonométricas también pueden aproximarse numéricamente mediantela fórmula de Taylorpara cálculos aproximados, por ejemplo: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$, lo cual muestra la profunda conexión entre funciones trigonométricas y polinomios algebraicos.
1. Recopilar los términos del polinomio: un cuadrado de $x^2$, tres tiras rectangulares de $x$, y dos cuadrados unitarios de $1\times1$.
2. Comenzar a ensamblarlos geométricamente.
3. ¡Forman perfectamente un rectángulo más grande! El ancho es $(x+2)$ y la altura es $(x+1)$.
PREGUNTA 1
Escriba el conjunto de ángulos con el mismo lado terminal que $60^\circ$, y encuentre los elementos $\beta$ que satisfacen la desigualdad $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$.
Conjunto $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elementos $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
Conjunto $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elementos $\beta = 60^\circ$
Conjunto $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elementos $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
Conjunto $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$; elementos $\beta = 60^\circ$
¡Correcto!
¡Correcto! Los ángulos con el mismo lado terminal difieren en múltiplos enteros de $360^\circ$. Cuando $k=0$, $\beta=60^\circ$, y cuando $k=-1$, $\beta=-300^\circ$, ambos cumplen con el rango especificado.
Incorrecto
Pista: La forma general de ángulos con el mismo lado terminal es $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Busque valores de $k$ que cumplan con el rango dado.
PREGUNTA 2
Dado que $\alpha$ es un ángulo agudo, entonces $2\alpha$ es ( ).
ángulo del primer cuadrante
ángulo del segundo cuadrante
ángulo positivo menor que $180^\circ$
ángulo del primer o segundo cuadrante
¡Correcto!
Correcto. Debido a que $\alpha$ es un ángulo agudo, es decir, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, entonces $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$. Tenga en cuenta que $2\alpha$ podría ser un ángulo recto y no necesariamente pertenece a un cuadrante específico.
Incorrecto
Nota: El rango de ángulos agudos es $(0, 90^\circ)$, y el doble de ese rango es $(0, 180^\circ)$. Incluye el primer cuadrante, el segundo cuadrante y el límite de $90^\circ$.
PREGUNTA 3
Dado que el lado terminal del ángulo $\theta$ pasa por el punto $P(-12, 5)$, calcule el valor de $\sin \theta$.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
¡Correcto!
¡Correcto! Primero calcule $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$. Según la definición, $\sin \theta = y/r = 5/13$.
Incorrecto
Calcule $r$: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. La definición del valor seno es $y/r$.
PREGUNTA 4
(Respuesta oral) Suponga que $\alpha$ es un ángulo interno de un triángulo. ¿Cuáles de las siguientes funciones podrían tener valores negativos: $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$?
Solo $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ y $\tan \alpha$
Los tres podrían tener valores negativos
Solo $\tan \alpha$
¡Correcto!
Correcto. El rango de los ángulos internos de un triángulo es $(0, \pi)$. En el primer cuadrante $(0, \pi/2)$, todos son positivos; en el segundo cuadrante $(\pi/2, \pi)$ (ángulo obtuso), el seno es positivo, mientras que el coseno y la tangente son negativos.
Incorrecto
Pista: Un ángulo interno de un triángulo puede ser agudo, recto u obtuso. Considere el signo de las funciones trigonométricas cuando el ángulo es obtuso y está en el segundo cuadrante.
PREGUNTA 5
Utilice el método de cinco puntos para graficar $y = -\sin x$ en el intervalo $[-\pi, \pi]$. ¿Cuál de los siguientes puntos NO es un punto clave?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
¡Correcto!
Correcto. El método de cinco puntos normalmente toma puntos cada cuarto de período, es decir, $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ y sus valores funcionales correspondientes. $\pi/4$ no es un punto clave estándar en el método de cinco puntos.
Incorrecto
El método de cinco puntos selecciona los puntos clave donde la función alcanza sus valores máximos, mínimos y ceros.
PREGUNTA 6
De las siguientes funciones, ¿cuál es tanto una función impar como tiene periodo $\pi$?
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
¡Correcto!
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案。
Incorrecto
Verifique la fórmula del periodo $T = 2\pi/\omega$ y la paridad $f(-x) = -f(x)$.
PREGUNTA 7
Sin calcular valores, compare el tamaño de $\cos \frac{2\pi}{7}$ y $\cos(-\frac{3\pi}{5})$.
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
Iguales
No se puede comparar
¡Correcto!
Correcto. $\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$. Dado que $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$, y la función coseno es monótonamente decreciente en $[0, \pi]$, el ángulo más pequeño tiene un valor de coseno mayor.
Incorrecto
Pista: Utilice la fórmula de reducción $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Compare los ángulos dentro del mismo intervalo de monotonicidad.
PREGUNTA 8
Dada la función $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, su periodo mínimo positivo es ( ).
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
¡Correcto!
Correcto. Según la fórmula del periodo $T = 2\pi / |\omega|$, aquí $\omega = 2$, por lo tanto $T = 2\pi / 2 = \pi$.
Incorrecto
Fórmula del periodo: $T = 2\pi / \omega$.
PREGUNTA 9
Halle el valor de $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$.
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
¡Correcto!
Correcto. Utilizando la inversa de la fórmula del ángulo doble: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Por lo tanto, $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = 1/4$.
Incorrecto
Pista: Utilice la fórmula del ángulo doble $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
PREGUNTA 10
Dado que $\sin \beta + \cos \beta = 1/5$, con $\beta \in (0, \pi)$, entonces el valor de $\tan \beta$ es ( ).
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
¡Correcto!
Correcto. Eleve al cuadrado ambos lados: $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$. Como la suma es positiva y el producto negativo, entonces $\sin \beta > 0$, $\cos \beta < 0$ (segundo cuadrante). Se obtiene $\sin \beta = 4/5$, $\cos \beta = -3/5$, por lo tanto $\tan \beta = -4/3$.
Incorrecto
Pista: Eleve al cuadrado la ecuación para hallar $\sin \beta \cos \beta$, y combine con $\sin^2 + \cos^2 = 1$ para determinar los valores específicos del seno y coseno.
Desafío: Modelado trigonométrico de un carrusel
Análisis de fenómenos periódicos reales
Un carrusel tiene su punto más alto a 120 m del suelo y su punto más bajo a 10 m del suelo. Girar una vuelta completa toma 30 minutos. Suponiendo que el carrusel gira a velocidad constante, el tiempo comienza cuando el pasajero entra en el asiento desde el punto más bajo.
Q1
Encuentre la fórmula analítica de la altura $h$ (m) del pasajero respecto al suelo en función del tiempo $t$ (min).
Solución detallada:
1. Amplitud $A$: El radio es $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Desplazamiento vertical $k$: La altura central es $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Velocidad angular $\omega$: El periodo $T=30$, entonces $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Fase $\phi$: En $t=0$ se encuentra en el punto más bajo $h=10$. Sea $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Cuando $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Fórmula: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ o $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
1. Amplitud $A$: El radio es $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Desplazamiento vertical $k$: La altura central es $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Velocidad angular $\omega$: El periodo $T=30$, entonces $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Fase $\phi$: En $t=0$ se encuentra en el punto más bajo $h=10$. Sea $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Cuando $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Fórmula: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ o $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
Q2
¿A qué altura del suelo se encuentra el pasajero después de 5 minutos de comenzar a girar?
Solución detallada:
Sustituya $t=5$ en la fórmula:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Conclusión: La altura es de 37.5 metros.
Sustituya $t=5$ en la fórmula:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Conclusión: La altura es de 37.5 metros.
Q3
Si el asiento gira a velocidad constante, ¿cómo se manifiesta el cambio de posición del asiento en la proyección sobre el círculo unidad tras media vuelta?
Solución detallada:
Tras medio periodo (15 minutos), el ángulo aumenta en $\pi$ radianes. En el círculo unidad, esto significa que el punto $P(x, y)$ gira hasta el punto simétrico respecto al origen, $P'(-x, -y)$. En funciones trigonométricas, esto se representa mediante la fórmula de reducción: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Por lo tanto, si originalmente estaba en el punto más bajo, tras medio periodo estará obligatoriamente en el punto más alto.
Tras medio periodo (15 minutos), el ángulo aumenta en $\pi$ radianes. En el círculo unidad, esto significa que el punto $P(x, y)$ gira hasta el punto simétrico respecto al origen, $P'(-x, -y)$. En funciones trigonométricas, esto se representa mediante la fórmula de reducción: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Por lo tanto, si originalmente estaba en el punto más bajo, tras medio periodo estará obligatoriamente en el punto más alto.
✨ Puntos clave
En el círculo unidadobserve las coordenadas,$y$ es el seno $x$ es el coseno.Suma de cuadradossiempre igual a uno,razón tangentepermanece eternamente¡
💡 Las coordenadas son los valores de la función
Recuerde que el 'círculo unidad' es fundamental. La coordenada horizontal $x$ del punto de intersección del lado terminal con el círculo unidad es $\cos \alpha$, y la coordenada vertical $y$ es $\sin \alpha$.
💡 Regla mnemotécnica para los signos en los cuadrantes
«Todo positivo, solo seno, solo tangente, solo coseno». Esto determina cómo elegir el signo positivo o negativo al realizar operaciones con raíces cuadradas.
💡 Dominio de la tangente
Porque $\tan \alpha = y/x$, cuando el lado terminal está sobre el eje $y$ (es decir, $\alpha = k\pi + \pi/2$), $x=0$, y en ese caso el valor de la tangente no está definido.
💡 Recordatorio sobre el sistema de radianes
Al aplicar la fórmula de Taylor o modelos físicos de periodo ($T=2\pi/\omega$), los ángulos deben expresarse en radianes.
💡 Método de cinco puntos para graficar
Al dibujar curvas sinusoidales, identifique claramente los tres ceros y los dos puntos extremos, y conecte los puntos con una línea suave tipo «onda».